7.5 KB · ⇊ 3 parts · ⤓ Micron 7.5 KB · ⤓ HTML 40.9 KB

top

Der Torsionstensor ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der Differentialgeometrie. Eingeführt wurde dieses Tensorfeld von Élie Cartan in seinen Studien zur Geometrie und Gravitation.cite-ref-1[1]

• Definition

• Lokale Darstellung

• Eigenschaften

• Symmetrischer Zusammenhang

• Literatur

• Einzelnachweise

Sei ( M , ∇ ∇ ) {\displaystyle (M,\nabla )} eine differenzierbare Mannigfaltigkeit zusammen mit einem affinen Zusammenhang ∇ ∇ {\displaystyle \nabla } . Der Torsionstensor T {\displaystyle T} ist ein Tensorfeld, das durch

T ( X , Y ) = ∇ ∇ X Y − − ∇ ∇ Y X − − [ X , Y ] {\displaystyle T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}

definiert ist. Dabei sind X , Y ∈ ∈ Γ Γ ( T M ) {\displaystyle X,Y\in \Gamma (TM)} zwei Vektorfelder und [ ⋅ ⋅ , ⋅ ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} stellt die Lie-Klammer dar.cite-ref-2[2]

Sei e 1 , … … , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} ein lokaler Rahmen des Tangentialbündels T M {\displaystyle TM} . Das sind Schnitte im Tangentialbündel, die in jedem Tangentialraum eine Vektorraumbasis bilden. Setzt man X := e i {\displaystyle X:=e_{i}} , Y := e j {\displaystyle Y:=e_{j}} und γ γ i j k e k := [ e i , e j ] {\displaystyle \gamma _{ij}^{k}e_{k}:=[e_{i},e_{j}]} , dann gilt für die Komponenten T i j k {\displaystyle T_{ij}^{k}} des Torsionstensors in lokalen Koordinaten

T k i j = Γ Γ k i j − − Γ Γ k j i − − γ γ k i j , i , j , k = 1 , 2 , … … , n . {\displaystyle T^{k}{}_{ij}=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.}

Dabei bezeichnen die Symbole Γ Γ i j k {\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}} die Christoffel-Symbole. Da es immer möglich ist, den lokalen Rahmen so zu wählen, dass die Lie-Klammer überall verschwindet, gilt in diesen Koordinaten für die Komponenten des Tensorfelds

T k i j = Γ Γ k i j − − Γ Γ k j i , i , j , k = 1 , 2 , … … , n . {\displaystyle T^{k}{}_{ij}=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.}

• Der Torsionstensor ist ein (2,1)-Tensorfeld, ist also insbesondere C ∞ ∞ {\displaystyle C^{\infty }} -linear in seinen drei Argumenten.

• Der Torsionstensor ist schiefsymmetrisch, das heißt, es gilt T ( X , Y ) = − − T ( Y , X ) {\displaystyle T(X,Y)=-T(Y,X)} .

Ein affiner Zusammenhang ∇ ∇ {\displaystyle \nabla } heißt symmetrisch oder torsionsfrei, wenn der Torsionstensor verschwindet, wenn also

T ( X , Y ) = 0 {\displaystyle T(X,Y)=0}

oder äquivalent

∇ ∇ X Y − − ∇ ∇ Y X = [ X , Y ] {\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}

gilt. Der wichtigste symmetrische Zusammenhang ist der Levi-Civita-Zusammenhang, der zusätzlich noch metrisch ist.

Für symmetrische Zusammenhänge kann eine Art Verallgemeinerung des Satzes von Schwarz für differenzierbare Kurven bewiesen werden. Sei M {\displaystyle M} eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit symmetrischem Zusammenhang ∇ ∇ {\displaystyle \nabla } und c : : ] − − ϵ ϵ , ϵ ϵ [ × × ] a , b [ → → M {\displaystyle c\colon \left]-\epsilon ,\epsilon \right[\times \left]a,b\right[\to M} eine glatte Homotopie von glatten Kurven, dann gilt

∇ ∇ ∂ ∂ ∂ ∂ s ∂ ∂ ∂ ∂ t c ( s , t ) = ∇ ∇ ∂ ∂ ∂ ∂ t ∂ ∂ ∂ ∂ s c ( s , t ) . {\displaystyle \nabla _{\frac {\partial }{\partial s}}{\frac {\partial }{\partial t}}c(s,t)=\nabla _{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial s}}c(s,t)\,.}

Einfach ausgedrückt kann im Fall eines symmetrischen Zusammenhangs also die Ableitung nach s {\displaystyle s} mit der nach t {\displaystyle t} vertauscht werden.cite-ref-3[3]

• Torsion tensor. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

cite-note-11. ↑ Elie Cartan: On manifolds with an Affine Connection and the Theory of General Relativity (= Monographs and Textbooks in Physical Science 1). Bibliopolis, Neapol 1986, ISBN 88-7088-086-9 (Engl. transl. of French original 1922/23: Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée).

cite-note-22. ↑ John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 68.

cite-note-33. ↑ John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 97–98.